MATEMATICA

LICEO SCIENTIFICO “A. MEUCCI”

Queste pagine costituiscono un ripasso di una parte del programma di matematica che hai svolto alle scuole medie.
Nelle prima parte troverai una sintesi della teoria; leggila con attenzione prima di svolgere gli esercizi che troverai nella seconda parte.
Durante  i  primi  giorni  di  scuola  il  lavoro  che  hai  svolto  verrà approfondito con l’insegnante.

TEORIA: GLI INSIEMI NUMERICI

Capitolo 1: L’insieme dei numeri naturali N

Par. 1.1: I numeri naturali e le operazioni interne all’insieme N.

L’insieme N dei numeri naturali è costituito dallo zero e dai numeri interi positivi:

Quando vorremo escludere lo zero scriveremo

N = {0,1,2,3,...}
N 0 .

Le operazioni interne all’insieme N ( cioè le operazioni il cui risultato è ancora un numero naturale)
sono le operazioni di addizione e moltiplicazione.
Invece la sottrazione e la divisione non sono operazioni interne all’insieme dei numeri naturali perché il risultato di queste operazioni non è sempre un numero naturale. Infatti:
Sottrazione: 7-5=2Î	N, ma 5-7= -2	ÏN Divisione:	15:5=3	ÎN, ma 21:5= 4,2Ï	N
N.B. Î  = appartenente;   Ï = non appartenente

Par. 1.2 I numeri naturali: Ordinamento

Considerando  una  semiretta  orientata  e  un’unità  di  misura,  è  possibile  rappresentare  su  questa semiretta tutti i numeri naturali; l’ordinamento di due o più numeri naturali consiste semplicemente nello scriverli in ordine (solitamente crescente), utilizzando i simboli maggiore (>) e minore (<).

Esempio:
Ordinare i numeri naturali 5,10,0,14,1 :  0<1<5<10<14

Par. 1.3: Proprietà delle operazioni in N.

ADDIZIONE

I termini dell’addizione si dicono addendi, il risultato si dice somma.

Proprietà dell’addizione:
Commutativa	a+	b=	b+a	3+	2=	2+	3	
Associativa	a+	(b+c)=	(a+b)+	c	3+(	7+	8)=(	3+	7)+	8	

L’elemento neutro dell’addizione è lo zero; infatti: a +0=0+a	 = 0 ; 3+0=0+3=3

MOLTIPLICAZIONE
I termini dell’addizione si dicono fattori, il risultato si dice prodotto.

Proprietà della moltiplicazione:
Commutativa	a x	b =	b x	a	3  x 2 =2  x 3	
Associativa	a x(	b x	c) =(	a x	b) x	c	3 x (2 x 4 ) = (3 x 2 ) x 4	
Distributiva rispetto all’addizione	a  x (b + c)=(a x b)+(a x c)	3 x(4+5)=(3x4)+(3x5)	

La  proprietà  distributiva  della  moltiplicazione  rispetto  all’addizione  viene  utilizzata  nel  calcolo letterale (moltiplicazione di un monomio per un polinomio).

Vale anche la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione, che vedremo tra le proprietà della sottrazione.

L’elemento neutro dell’addizione è l’uno; infatti: a ´ 1 = 1´ a = a .

Molto importante è la legge di annullamento del prodotto:

Se il prodotto a

b è uguale a zero, allora almeno uno dei fattori è uguale a zero; cioè

a ´ b = 0 Þ a = 0 Ú 
b = 0
(N.B.Ú significa oppure)

Viceversa, se uno almeno dei fattori è uguale a zero, allora il prodotto a

b è uguale a zero.

a =	0   Ú       b =	0    Þ a x b = 0

SOTTRAZIONE

I termini della sottrazione  
a –b 
differenza.

Proprietà della differenza:

 si chiamano minuendo ( a ) e sottraendo ( b ), il risultato si dice

Invariantiva: la differenza di due numeri non cambia se ad essi si aggiunge o si sottrae (quando è possibile) uno stesso numero:	a -	b= ( a + m) - (b + m)

a -	b= (a - m) - ( b - m)	15 -	7=	(15+	5)-(	7+	5)

45  - 13=(45 - 5)  – (13 - 5)	
Distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione	a x(b-c)=(a x b) – (a x c)	3x(5-2)=(3x5)-(2x3)	

La sottrazione NON gode della proprietà commutativa;   infatti: 7 – 5 ¹ 5 - 7

DIVISIONE

I termini della divisione  a : b  si dicono dividendo ( a ) e divisore ( b ), il risultato si dice quoto oquoziente esatto nel caso di numeri naturali e relativi, quoziente nel caso di numeri razionali (che vedremo bei prossimi paragrafi).

La  divisione  è  l’operazione  inversa  della  moltiplicazione  e  si  definisce  proprio  a  partire  dalla moltiplicazione:
“il risultato della divisione a : b
è quel numero c che moltiplicato per b dà come prodotto a ”Cioè:
a : b = c  se e solo se   c    x         b =  	a

Vediamo un esempio numerico:
6:3=2  perché 2 è quel numero che moltiplicato per 3 dà come prodotto 6 (cioè perché 2  x 3 	= 6 )

E’ importante soffermarsi sul ruolo dello zero nell’operazione di divisione; partiamo da alcuni esempi: E’ possibile dividere un numero per zero?  3:0=?
Dovremmo trovare un numero che moltiplicato per 0 dia come prodotto 3; ciò non è possibile perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0! Quindi l’operazione 3:0 è un’operazione impossibile, cioè un’operazione che non ha nessun risultato:
3:0=OPERAZIONE IMPOSSIBILE
Qual è il risultato della divisione 0:0=?
Per come è definita la divisione, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 0 dia come prodotto 0; ma dato che ogni numero moltiplicato per 0 dà come prodotto 0, come risultato potremmo mettere un qualsiasi numero:
0:0 = 0
0:0 = 1
0:0 = 2
………
Si dice allora che questa operazione è indeterminata, cioè che non è possibile determinare un solo risultato per l’operazione poiché ne ha infiniti. Quindi:
0:0=OPERAZIONE INDETERMINATA
Qual è il risultato della divisione dello zero per un numero? 0:3=?
Questa operazione invece si può eseguire e dà come unico risultato lo zero, che è quel numero

che moltiplicato per 3 dà 0; infatti 0   3
0:3=0

Generalizziamo i risultati così ottenuti:

0 . Quindi:

a : 0
0 : 0
0 : a

operazione impossibile (se a 	0 )
operazione indeterminata
0 (se a	0 )

Proprietà della divisione:

Proprietà invariantiva:
Il quoziente non cambia se si moltiplicano o se si dividono (quando è possibile) dividendo e divisore per uno stesso numero diverso da zero:	a : b=(axc) : (bxc)

a : b=(a : c):(b : c) (c ¹ 0)	24 : 6=(24x2) : (6x2)

105 : 15=(105 : 5) : (15 : 5)	
Proprietà distributiva a sinistra della divisione rispetto all’addizione o alla sottrazione:

ADDIZIONE: Per dividere una somma per un numero, si può dividere ciascun termine della somma per quel numero e sommare i risultati così ottenuti

SOTTRAZIONE: Per dividere una differenza per un numero, si può dividere ciascun termine della differenza per quel numero e sottrarre i risultati così ottenuti	

(a+b) : c=
(a : c)+(b : c)

(a-b) : c=(a : c)-(b : c)	

(24+6) : 3=(24 : 3)+(6 : 3)

(63-21) : 7=(63 : 7)-(21 : 7)	

La proprietà invariantiva della divisione viene utilizzata per semplificare una frazione e per ridurre più frazioni al minimo comun denominatore (per esempio per ordinare delle frazioni e per eseguire la somma tra frazioni).
La proprietà invariantiva non permette anche di sommare o sottrarre al dividendo e al divisore uno

stesso numero, come si può facilmente verificare:7:10 ¹

(7+3) : (10+3) .

La divisione NON gode della proprietà commutativa ( a:b ¹
b : a ;
10:5 ¹ 5 : 10 ) e, di conseguenza,

neanche della proprietà distributiva a destra rispetto all’addizione o alla sottrazione:

      c : (a + b) ¹ c : a + c : b                120 : (3 + 5) ¹ (120 : 3) + (120 : 5)

     c : (a + b) ¹ c : a + c : b                 70 : (7 - 5) ¹ (70 : 7) + (70 : 5)

ELEVAMENTO A POTENZA

I termini dell’elevamento a potenza a n

si chiamano base ( a ) ed esponente ( n ); il risultato si chiama

potenza. L’operazione di elevamento a potenza deriva dall’operazione di moltiplicazione ed è definita come il prodotto di n fattori uguali ad a :

			 =

Affinchè questa definizione abbia senso quindi l’esponente n deve essere necessariamente un intero

maggiore o uguale ad uno:	n ≥1,  n Î

N . Inoltre 

Proprietà dell’elevamento a potenza:

Stessa base	Il prodotto di due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti	

	
	Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti	

	

	

Stesso esponente	Il prodotto di due potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente	

	

	
	Il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza avente per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente	

	

	

Potenza di	La potenza di una potenza è uguale a una potenza avente per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti	

	

potenza

Soffermiamoci sul ruolo dello 0 nell’elevamento a potenza:

Qual è il risultato dell’operazione a 0 , se a¹0 ? Per esempio, quanto vale  3 0 ?
Non è possibile rispondere a questa domanda utilizzando la definizione di potenza data precedentemente, poiché questa è valida solo se l’esponente è un numero intero maggiore di 1. Possiamo però applicare la proprietà del quoziente di potenze aventi la stessa base:
.
Applicando la proprietà del quoziente di potenze aventi lo stesso esponente:

Di conseguenza deve essere
		 . 
Analogamente deve essere per qualunque base a¹0 .Quindi:  se a¹0 .
Qual è il risultato dell’operazione 0 0 ?

Analogamente a prima possiamo dire che:

Ma svolgendo le potenze:

Operazione indeterminata come abbiamo visto  nella divisione.

Quindi 00    è una operazione indeterminata.
Qual è il risultato dell’operazione 0 n , con esponente n ¹ 0 ? Utilizzando la definizione di potenza si ha:
che   se n ¹0.

Rissumiamo i risultati così ottenuti:
	 , se a ¹0
00	operazione indeterminata
 , se n ¹	0.

Par. 1.4: Il ruolo dello zero.

Il ruolo dello zero nelle varie operazioni è molto importante; riassumiamolo nella tabella sottostante:

Operazione	Ruolo dello zero	
Addizione	a+	0=	0+	a=	a	

Moltiplicazione	a x	0 =	0 x	 a=	0
                         0 x 0 = 0	

Divisione	a : 0 	operazione impossibile (se a   ¹	0 )
0 : 0	operazione indeterminata
0 : a = 0 (se a  ¹	0 )	

Potenza	, se a  ¹	0
00	operazione indeterminata
 , se n ¹	0	

Par. 1.5: Le espressioni numeriche.

Le espressioni numeriche sono costituite da una serie di numeri legati tra di loro dalle operazioni di addizione, sottrazione, divisione, elevamento a potenza e delle parentesi che racchiudono dei gruppi di operazioni.

Risolvere un’espressione numerica significa eseguire le operazioni che in essa compaiono, utilizzando quando possibile le proprietà studiate e rispettando l’ordine delle operazioni e delle parentesi. L’ordine è il seguente:
1.   si calcolano le potenze (se non è possibile applicare delle proprietà delle potenze)
2.   si eseguono moltiplicazioni e divisioni nell’ordine in cui sono scritte
3.   si eseguono addizioni e sottrazioni nell’ordine in cui sono scritte
4.   in presenza di parentesi si eseguono prima le operazioni all’interno delle parentesi
(tonde, quadre, graffe), sempre seguendo l’ordine descritto

OSSERVAZIONE IMPORTANTE:
Ogni volta che incontriamo in un’espressione numerica le proprietà delle potenze, DOBBIAMO necessariamente applicarla.
A volte l’utilità di queste proprietà sarà più evidente ( per esempio ) altre volte meno ( per esempio  ).
Quindi a volte riuscirai ad ottenere lo stesso risultato anche senza l’utilizzo delle proprietà; in questo caso, pur avendo ottenuto il risultato giusto, lo avrai fatto senza utilizzare tutti gli strumenti  matematici  che  hai  a  disposizione.  E’  quindi  sempre  opportuno  fare  uso  delle proprietà delle potenze, ove possibile.

Par. 1.6: Scomposizione in fattori primi; MCD e mcm.

Si dice che il numero a è divisibile per il numero b se il quoziente a:b è un numero intero. Si dice anche che a è un multiplo di b e che b è un divisore o un sottomultiplo di a.

Un numero si dice primo se è ha solo due divisori: 1 e se stesso. Quindi il numero 1, avendo un solo divisore, non è un numero primo!

E’ opportuno ricordare a memoria i numeri primi fino al 100:
2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-97.

Nel calcolo numerico è importante scomporre un numero in fattori primi, cioè esprimerlo come prodotto di fattori primi (questa operazione è anche detta fattorizzazione). Per far questo è importante ricordare i criteri di divisibilità:

Un numero è divisibile per…	
Se	
2	Se è pari	
3	Se la somma delle cifre è divisibile per 3	
9	Se la somma delle cifre è divisibile per 9	
5	Se termina con 0 o con 5	
25= 52	Se termina con 00, 25, 50, 75	

11	Se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è zero oppure un multiplo di 11	
10=2x5	Se termina con 0	
100 = 	Se termina con 00	
1000 = 	Se termina con 000	

Presi due o più numeri naturali, i loro divisori comuni sono in numero finito (sicuramente il numero 1 ed eventualmente altri). Tra questi ha una particolare importanza il massimo comun divisore.
Il massimo comun divisore (MCD) tra due o più numeri naturali è il più grande tra i divisori comuni ai numeri dati.
Dal punto di vista pratico, per calcolare il MCD bisogna
1.   scomporre in fattori primi i numeri dati
2.   moltiplicare i fattori comuni con l’esponente più piccolo

Esempi:

168 =       180 =    MCD (168, 180)= 
  12 =             65   =          MCD (12,65)= 1

In particolare se il MCD tra due numeri è 1 i due numeri si dicono primi tra loro.

I multipli comuni a due o più numeri naturali sono invece in numero infinito.
Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri naturali è il più piccolo tra i multipli comuni ai numeri dati.
Dal punto di vista pratico, per calcolare il mcm bisogna
1.   scomporre in fattori primi i numeri dati
2.   moltiplicare i fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande

Esempi:

168 =       180 =    mcm (168, 180)= 
  12 =             65   =          mcm (12,65)= 

*******CORREGGERE******************

Capitolo 2: L’insieme dei numeri interi relativi Z

Par. 2.1: I numeri interi relativi e le operazioni interne all’insieme Z.

L’insieme dei numeri interi relativi è costituito dai numeri interi positivi, interi negativi e dallo zero, cioè:

					Z 

Quindi l’insieme Z costituisce un ampliamento dell’insieme N, perché l’insieme N è contenuto
nell’insieme Z: N Ì Z .

Quando vorremo escludere lo zero scriveremo

Z 0 .

Le operazioni interne all’insieme Z ( cioè le operazioni il cui risultato è ancora un numero intero relativo) sono le operazioni di addizione, di moltiplicazione (come per l’insieme N) e anche la sottrazione.
Infatti la sottrazione tra due numeri relativi dà sempre per risultato un numero relativo:

Sottrazione:	 (+7) – (+5) = +2 Î Z      (+5) -  (+7) = - 2 Î Z

Invece la divisione, come per i numeri naturali, non è un’operazione interna all’insieme dei numeri relativi perché il risultato di una divisione non è sempre un numero relativo. Infatti:

Divisione :  (+15) : (+3) =  +5 Î Z        (+ 7) : (+ 2) = 3,5Ï Z

Par. 2.2 I numeri interi relativi: rappresentazione e ordinamento

Per rappresentare i numeri interi relativi bisognerà questa volta ricorrere ad una retta orientata r (solitamente verso destra), ad un’unità di misura e ad un punto di origine O che corrisponderà allo zero. Partendo da O nei due versi si rappresenteranno i numeri positivi seguendo l’orientamento di r, e i numeri negativi nel verso opposto.

Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno, discordi se hanno segno diverso. Per esempio:
+4 e +2 sono concordi
-5 e -8 sono concordi
+3 e -6 sono discordi

I numeri a e –a si dicono opposti. Per esempio -2 è l’opposto di +2; +5 è l’opposto di -5.
A due numeri opposti corrispondono, sulla retta orientata due punti simmetrici rispetto all’origine.

Par. 2.3: Modulo o valore assoluto di un numero relativo

Il modulo o valore assoluto è un’operazione che ha un solo argomento e il cui risultato non è mai negativo ma solo positivo o nullo. Il modulo del numero a si indica con  a .
Iniziamo con degli esempi:

		

La definizione di questa nuova operazione è la seguente:
il modulo o valore assoluto di un numero relativo a si indica con  a  e dà come risultato il numero stesso se a è positivo o nullo oppure il suo opposto se a è un numero negativo.

Pertanto:

     Si può quindi osservare che:
i valori assoluti di due numeri opposti coincidono
viceversa se due numeri hanno lo stesso valore assoluto o sono uguali o sono opposti l’unico numero che ha valore assoluto nullo è lo zero.

Par. 2.4: Ordinamento in Z

L’ordinamento di due o più numeri relativi consiste nello scriverli in ordine (solitamente crescente), utilizzando i simboli maggiore (>) e minore (<); bisogna tener conto del fatto che:
i numeri negativi sono minori di quelli positivi
lo zero è maggiore di tutti i numeri negativi e minore di tutti i numeri positivi devi ricordare che:
….<-4 < -3 < -2 < -1 < 0 < +1 < +2 < +3 < ….
quindi tra i numeri positivi è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore, mentre tra numeri negativi è maggiore quello che ha valore assoluto minore.

Par. 2.5: Proprietà delle operazioni in Z.

Le proprietà delle operazioni sono le stesse che abbiamo già visto in N.

Per quanto riguarda la moltiplicazione (e la divisione) vale la seguente “regola dei segni”:
se i numeri sono concordi il risultato ha segno positivo se i numeri sono discordi il risultato ha segno negativo

Riassumiamola nella seguente tabella:

     x	+	-	
+	+	-	
-	-	+	

La  regola  dei  segni  non  è  una  scelta  convenzionale  ma  una  conseguenza  delle  proprietà  delle operazioni.
•	Vediamo perché  (-5) x (+3) = - 15, e più in generale perché il prodotto di due numeri discordi dà un risultato negativo;
•	Vediamo perché  (-5) x (-3) = + 15, e più in generale perché il prodotto di due numeri concordi dà un risultato positivo;
sappiamo che (+5) x 0 = 0 e quindi (+5) x (+3-3) = 0;
Per la proprietà distributiva  la precedente uguaglianza diventa:
	(+5) x (+3) + (+5) x (-3) = 0
Di conseguenza (-5) x (+3) e (-5) x (-3) danno come risultati due numeri opposti; quindi dato che
	(+5) x (+3) = + 15
Allora 	(+5) x (-3) = - 15.

Per quanto riguarda l’elevamento a potenza, dalla regola dei segni del prodotto segue che:

se l’esponente è pari (lo indicheremo con 2n ), a 2 n
negativa:

³ 0 sia che la base a sia positiva che

Se l’esponente è dispari ( lo indicheremo con 2n+1) ha lo stesso segno della base ( quindi è positivo se la base è positiva e negativo se la base è negativa)

ATTENZIONE: L’esponente di una potenza si riferisce solo al numero al quale è accostato, quindi:
	 , mentre   perché  la potenza non comprende anche il segno meno.
	   mentre    perché la potenza si riferisce solo al numeratore della frazione.

Capitolo 3: L’insieme dei numeri razionali Q

Par. 3.1: I numeri razionali Q.

Per capire cosa è un numero razionale dobbiamo introdurre il concetto di frazione.

La frazione

a , dove  a  (numeratore) e  b  (denominatore) sono numeri relativi e  b
b

0 , indica il

risultato della divisione tra il numero a e il numero b . Questo numero è intero solo se il numeratore è un multiplo del denominatore.

a	c
Due frazioni	e
b	d

7		14 si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero. Per esempio	e
15	30

sono frazioni equivalenti.
Quindi data una frazione se ne possono scrivere infinite equivalenti ad essa, moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero (diverso da zero). Infatti la frazione rappresenta, come abbiamo detto, una divisione, e quindi possiamo applicare ad essa la proprietà invariantiva.

10	20
;	;
15	30

2	100
;
3	15

;  ……..

Tra tutte queste frazioni equivalenti ce ne è solo una in cui numeratore e denominatore sono numeri
2

primi tra loro (nell’esempio precedente è la frazione

); si dice ridotta ai minimi termini, e si
3

ottiene dalle altre dividendo numeratore e denominatore per tutti i loro fattori comuni, cioè per il loro
MCD:

			

Un numero razionale è proprio l’insieme di tutte le frazioni tra loro equivalenti. L’insieme dei numeri razionali si indica con la lettera Q .
Quindi tra i numeri razionali troviamo anche i numeri interi relativi    Z  (quando il numeratore è multiplo del denominatore), e naturalmente anche i numeri naturali N  (quando numeratore e denominatore sono anche concordi).
I numeri razionali Q sono pertanto un ampliamento dell’insieme Z :
N Ì ZÌ Q

Par. 3.2: Le operazioni interne all’insieme Q.

Le operazioni interne all’insieme Q sono le operazioni di addizione, di moltiplicazione, di sottrazione
(come per l’insieme Z) e anche la divisione.
Infatti la divisione tra due numeri razionali dà sempre per risultato un numero razionale:

(+5) :	(+3)

5 dà come risultato il numero razionale.
3

Par. 3.3 Dalla frazione al numero decimale e viceversa

Come abbiamo visto una frazione rappresenta il risultato di una divisione. Nella frazione la divisione è solo indicata, ma non si esegue; vediamo quali numeri si ottengono eseguendo effettivamente la divisione.

1.   Il numeratore è multiplo del denominatore: in questo caso si ottiene un numero intero relativo, e la frazione ridotta ai minimi termini ha denominatore  1.

2.   Eseguendo la divisione si ottiene un numero decimale limitato, cioè un numero finito di cifre decimali. Questo succede se la frazione ridotta ai minimi termini ha al denominatore solo delle potenze del 2 e/o del 5 (ed è quindi equivalente ad una frazione decimale).

3.   Eseguendo la divisione si ottiene un numero decimale illimitato periodico, cioè un numero finito di cifre decimali dotato di periodo (ed eventualmente un antiperiodo). Questo succede se non si ricade nei casi precedenti

Quindi i numeri razionali, scritti nella loro forma decimale, sono numeri interi, decimali limitati o decimali illimitati.

Vediamo ora come si fa nei diversi casi a passare dal numero decimale alla frazione, che prende il nome di frazione generatrice del numero decimale:
1.   Se il numero decimale è limitato basta scrivere la frazione che ha per numeratore il numero

scritto  senza la  virgola e  per  denominatore

10 n ,  dove  n  è  il  numero  di  cifre decimali;

eventualmente si riduce la frazione ai minimi termini.

2.   Se il numero è illimitato, bisogna scrivere una frazione che abbia al numeratore il numero scritto senza la virgola e per denominatore il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo; eventualmente si riduce la frazione ai minimi termini.

Da quanto abbiamo visto in questo paragrafo possiamo quindi dire che un numero razionale può presentarsi sotto forma di frazione o di numero decimale (o intero), ed è sempre possibile passare da una forma all’altra.
Sceglieremo il tipo di rappresentazione a seconda del contesto di lavoro. Nelle espressioni numeriche, per esempio, i numeri razionali saranno scritti come frazioni perché è più comodo effettuare operazioni con le frazioni che con i numeri decimali; nei problemi di geometria, invece, troverai misure di lunghezze o di aree espresse più spesso in forma decimale; lo stesso accadrà in fisica.

Par. 3.4: Relazione tra i diversi insiemi numerici introdotti e introduzione intuitiva ai numeri reali R.

Abbiamo  visto  come  l’introduzione  dei  diversi  insiemi  numerici  per  poter  eseguire  le  diverse operazioni di addizione, moltiplicazione, sottrazione, divisione. Infatti:

In  N  l’operazione di sottrazione non è sempre possibile, quindi si amplia l’insieme  N  e si ottiene l’insieme  Z  (che è chiuso rispetto alla sottrazione, cioè l’operazione di sottrazione è un’operazione interna in Z ).
In  Z  l’operazione di divisione non è sempre possibile, quindi si amplia l’insieme  Z  e si ottiene l’insieme Q (che è chiuso rispetto alla divisione).

Quindi in Q le operazioni di somma, moltiplicazione e divisione sono operazioni interne; per questa ragione tali operazioni prendono il nome di operazioni razionali.

Non abbiamo però esaurito tutti gli insiemi numerici che studieremo nel corso degli anni; infatti l’operazione di estrazione di radice non è un’operazione interna all’insieme dei numeri razionali.

Quindi ogni volta che il numero non è un quadrato perfetto l’operazione di estrazione di radice quadrata dà luogo a un numero decimale illimitato (cioè con infinite cifre decimali), ma senza periodo. Questi numeri non sono numeri razionali, come abbiamo visto nel paragrafo precedente.
Nei calcoli è utile utilizzare un valore approssimato dei numeri irrazionali, fermandosi ad esempio alla seconda cifra decimale (cioè ai centesimi). Per indicare che si tratta del valore approssimato e non di quello vero si utilizza il simbolo  »   . Quindi:
2  »	1,41

I numeri di questo tipo sono infiniti (le radici quadrate di numeri che non sono quadrati perfetti, le radici cubiche di numeri che non sono cubi perfetti, ecc.; inoltre alcuni numeri “speciali” come
p = 3,141592654... , il rapporto fisso che intercorre tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro); essi prendono il nome di numeri  irrazionali (I). I  numeri irrazionali uniti ai numeri razionali formano l’insieme dei numeri reali R .

L’insieme numerico dei numeri reali risulta chiuso anche rispetto all’estrazione di radice.

Par. 3.5. Frazioni proprie, improprie e apparenti.

Vediamo ora la classificazione delle frazioni in proprie, improprie e apparenti:

Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del denominatore; essa rappresenta una frazione dell’unità, cioè un numero minore di 1.
3
Es.
5
Una  frazione  si  dice  impropria  se  il  numeratore  è  maggiore,  ma  non  multiplo  del denominatore; essa rappresenta una quantità non intera maggiore di 1.
7
Es.
6
Una frazione si dice apparente se il numeratore è multiplo del denominatore; essa rappresenta un numero intero.

ESERCIZI: GLI INSIEMI NUMERICI

Risolvi sul quaderno i seguenti esercizi ripassando i relativi argomenti nelle pagine precedenti.

1)	Ruolo dello zero nelle operazioni:

0 (6-6) =…..    

2)	31,2 =     0,5 =                  0,3 =              

3) Scomponi in fattori primi i seguenti numeri:
a) 12;	36;	900;	1000	
b) 49;	48;	432;	3006	
c) 64;	99;	896;	2260	
d) 45;	40;	361;	1400	
e) 20;	32;	185;	5040	
f) 58;	63;	958;	3250	

4)  Indicate se ciascuna delle seguenti definizioni è vera o falsa, e giustificarne la risposta:
Il M.C.D. di due numeri è:

a)  il maggiore dei loro fattori comuni
b)   il maggiore dei loro divisori comuni c)  il maggiore dei loro divisori
d)  il maggiore dei loro multipli comuni

5)  Indicate se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa, e giustificarne la risposta:
a)  esiste sempre il M.C.D. di due o più numeri
b)  il M.C.D. di due o più numeri può essere uguale al numero minore c)  il M.C.D. di due numeri consecutivi è maggiore di 1
d)  se due numeri hanno per M.C.D. l’unità, essi sono primi

6)  Indicate se ciascuna delle seguenti uguaglianze è vera o falsa, e giustificarne la risposta:
a)  M.C.D.(24, 80) = M.C.D.(16, 8) = M.C.D.(104, 64) b)  M.C.D.(9, 15) = M.C.D.(20, 30) = M.C.D.(15, 30) 
c)  M.C.D.(7, 8) = M.C.D.(10, 15) = M.C.D.(21, 49)
d)  M.C.D.(3, 18) = M.C.D.(6, 27) = M.C.D.(9, 27)

7)  Nelle seguenti uguaglianze sostituire al posto dei puntini un numero in modo che l’uguaglianza risulti verificata:
M.C.D.(8, …..) = 2;	M.C.D.(15, …..) = 5;	M.C.D.(16, …..) = 8
M.C.D.(4, …..) = 4;	M.C.D.(10, …..) = 5;	M.C.D.(24, …..) = 8
M.C.D.(6, …..) = 3;	M.C.D.(24, …..) = 6;	M.C.D.(45, …..) = 5

8)  Calcolare mentalmente il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri:
a)	12, 15	d) 15, 21	g) 55, 77, 121	
b)	20, 70	e) 18, 24	h) 16, 24, 40	
c)	15, 21	f)  13, 26	i) 15, 30, 45	

9)  Calcolare, mediante la scomposizione in fattori primi, il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri:
a)	32, 48, 72	d)	240, 560, 800	
b)	36, 120, 450	e)	120, 168, 264	
c)	42, 48, 66	f)	250, 63, 225	

10)  Risolvere i seguenti problemi:
a)  Un negoziante ha 140 palline rosse, 120 gialle e 100 bianche. Volendo fare tanti sacchetti, ciascuno formato dallo stesso numero, il maggiore possibile, di palline di uguale colore, calcolare il numero di palline di ciascun sacchetto e il numero dei sacchetti.
b)  Lo spago di tre gomitoli deve essere tagliato in parti uguali e della maggiore lunghezza possibile. Calcolare la lunghezza di ciascuna parte e il numero delle parti, sapendo che i tre gomitoli sono lunghi 180 m, 240 m, 300 m.

12) Indicate se ciascuna delle seguenti definizioni è vera o falsa, e giustificarne la risposta:

Il m.c.m. di due numeri è:
a)	Il minore dei loro multipli comuni b)	Il minore dei loro fattori comuni
c)	Il minore dei loro divisori comuni
d)	Il minore dei loro sottomultipli comuni

11)	Indicate se ciascuna delle seguenti definizioni è vera o falsa, e giustificarne la risposta:

a)	Il m.c.m. di due numeri distinti è maggiore del loro M.C.D.
b)	Se il m.c.m. di due numeri distinti è uguale al numero maggiore, quest’ultimo è multiplo dell’altro
c)	Dati due o più numeri, esiste sempre il loro m.c.m.
d)	Il m.c.m. di due o più numeri è sempre diverso dai numeri dati

12) Nelle seguenti uguaglianze sostituire al posto dei puntini un numero in modo che l’uguaglianza  risulti verificata:

m.c.m.(8, …..) = 24;	m.c.m.(…..,30) = 60;	m.c.m.(3, 9, …..) = 90	
m.c.m.(4, …..) = 12;	m.c.m.(10, …..) = 110;	m.c.m.(6,….., 15) = 30	
m.c.m.(7, …..) = 56;	m.c.m.(….., 14) = 70;	m.c.m.(4,…..., 8) = 24	

11) Calcolare mentalmente il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri:

a)	4,  6	    d)  12,16		         g)  8,  12	
b)	10,  12	e) 20, 30		h)  24,  40	
c)	15,  20	f)  4,  5		i) 14,  21	
12) Calcolare, mediante la scomposizione in fattori primi, il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri:

d)	36,	56		d)	17,  19	g) 75,  36	
e)	70,	75		e)	72,  30	h)  84,  90	
f)	24,	60		f)	120,  96	i) 17,  11	

l)	
18,	
72,	
45	
o)	
18,  30,  42		
m) 20,	50,	330	p)	90,  144,  176	
n)  27,	36,	64	q)	112,  200,  280	

13) Risolvere i seguenti problemi:
a)  Tre viaggiatori di commercio ritornano nella stessa città uno ogni 12 giorni, l’altro ogni 18 giorni ed il terzo ogni 28 giorni. Se oggi si sono trovati insieme nella città, dopo quanti giorni si troveranno nuovamente insieme?

b)  Tre fari si accendono ad intervalli regolari, il primo ogni 4 secondi, il secondo ogni 6  ed il terzo ogni 12 secondi. Se ad un certo istante si accendono contemporaneamente, dopo quanti secondi si accenderanno nuovamente insieme?

c)  Una famiglia va in vacanza in una località della Toscana ogni 3 anni, un’altra si reca nello stesso luogo ogni 6 anni. Se si sono incontrate durante le vacanze del 1987, in quale anno si ritroveranno nella stessa località?

14) Ridurre ai minimi termini le seguenti frazioni:

a) 14 ,
21

30 , 27
40  72

, 60
70

, 90
320

, 88
121

, 48
108

, 78
208

;	b)

48 ,
32

10 ,
15

50
150

, 60
70

, 9  , 12
12  36

, 20
24

, 60
18

, 44
24

, 60
80

15) Confrontare le frazioni di ciascuna delle seguenti coppie ponendo tra esse il segno > o <
oppure =

5 ...... 4 ;

7 ...... 5 ;

8 ...... 99 ;

5 ...... 5 ;

1 ...... 1

3	7	8	8

4	100	6	9	2	7

11 ...... 11 ;

1 ...... 1 ;

12 ...... 9 ;

5 ...... 7 ;

1 ...... 33

15	17	3	5

3	10	3	3

2	66

12 ......15 ;

5 ...... 7 ;

15 ...... 60 ;

5 ...... 25 ;

7  ...... 8

13	16

12 ...... 48 ;

3	3

1 ...... 1 ;

2	8

6 ......19 ;

3	15

6 ...... 36 ;

100

99

9 ...... 9

5	20	2	7

19	6

5	30

10	11

16) Indicare se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa e giustificare la risposta:

11
a)	Il numero 4 è minore di
2

13
e maggiore di
2

20	22
         b)	Il numero 7 è compreso tra	e
3	3

ri

1

        c)	La frazione

       d)	La frazione

si può trasformare in una frazione avente per denominatore un numero pa
3
12
non si può trasformare in una frazione avente per denominatore 12
16

17) In una gara di tiro a segno Aldo ha fatto 9 centri su 12, Bruno ne ha fatti 11 su 18 e Carlo 10
su 15. Chi è stato il più bravo?

18) Dario ha mangiato

19) Calcolare:
1

1
di torta e Franco
3

3

2
. Chi ne ha mangiata di più?
5

2	1

a)	del doppio di 20 ;	b)
4	4

del doppio di 10 ;	c)
3

del triplo di 7 ;	d)
16

del doppio di 16 ;

2	3
e)	del quadruplo di 14 ;	f)
7	8

1
del doppio di 24 ;	g)
5

1
della metà di 8 ;	h)
2

di 7 . 3
4  5

20) Tradurre ciascuna delle seguenti frasi in espressione aritmetica e calcolarne il valore:

2
             a)	Sottrarre dal quadrato di
5

1
il cubo di	.
2

3
             b)	Addizionare al quoziente fra
4
1

2	1
e	il quadrato di	.
3	5
1	12

            c)	Elevare al cubo la somma di
2

e di
3

e moltiplicare il risultato ottenuto per	.
5

1
          d)	Sottrarre dal quadrato della somma di
2
2

2	1
e	la differenza tra  1 e	.
3	5
1

           e)	Elevare al quadrato la somma di 1 ,
3

ed	e dividere il risultato per il quadrato della
2

differenza fra

2	1
ed	.
5	6

28) Calcola il valore delle seguenti espressioni, dopo averle numerate da 1 a 16: